目次
●第I部
第1章 プロローグ
1-2次方程式の解の表示法
2-ある3次式の展開計算
3-3次方程式を解いてみる
4-3次方程式の解法のまとめ
5-「代数的に解ける」ということ
第2章 集合と写像
1-集合と要素
2-集合の表わし方
3-部分集合，和集合，および共通部分
4-写像
5-単射，全射，および全単射
6-合成写像と逆写像
第3章 群
1-群の定義
2-いろいろな群
第4章 複素数と方程式
1-複素数と複素数平面
2-虚数単位iは 90°回転を表わす
3-1の3乗根
4-三角関数を使った表示法
5-ド・モアブルの公式
6-閉曲線の(原点のまわりの)回転数
7-代数学の基本定理
8-n次方程式にはn個の解がある
第5章 多項式
1-多項式
2-対称式
3-除法の定理
4-互除法と最大公約数
●第II部
第1章 べき根で表わせるとはどういうことか
1-数体とはなにか
2-数体係数の多項式
3-単拡大P(θ)
4-複素数αがべき根で表わせるとはどういうことか
第2章 代数性，最小多項式
5-P-係数多項式の割り算，P上既約とP上可約
6-P上代数的，P上の最小多項式とは何か
7-θがP上代数的であるときのP(θ)
8-P(α_1,…,α_n)
9-α_1,…,α_nがP上代数的であるときのP(α_1,…,α_n)
第3章 ガロア拡大とガロア群
10-対称式の基本定理のP係数バージョン
11-ガロア拡大
12-Pをとめる自己同型とガロア群の定義
13-Pをとめる自己同型の性質(1)
14-15節のための準備
15-Pをとめる自己同型の性質(2)
16-ガロア拡大の3対(1)
17-中断-群論の説明
18-ガロア拡大の3対(2)
第4章 べき根で表わせる数のガロア群
19-可解群の定義と目標の定理
20-2項拡大
21-次節の準備
22-定理19.3の証明
付録1 単拡大定理の証明
付録2 P(θ)=Kをみたすθについての補足
付録3 ヘロンとガロア
1-はじめに
2-7次方程式
3-ガロア登場
4-最初の困難
5-一難去ってまた一難
6-おわりに
前書きなど
高等学校の数学を一通り勉強した人たちを対象に「ガロア理論」を解説した入門書です．
ガロア理論は19世紀の天才数学者エヴァリスト・ガロア（1811{1832）が書き遺した
方程式と数に関する理論です．
名前を聞かれた方も多いのではないかと思いますが，「勉強するには敷居が高い」と
感じている方も多いのではないでしょうか．
私たちは「できれば高校生にも読める本にする」ことを目指してこの本を書きました．
予備知識もほとんど仮定せず，集合や群などの基礎事項もすべて初めから解説しました．
あせらずゆっくり読んでみてください．
ガロア理論とは何かが分かるはずです．とくに， 2次方程式， 3次方程式，
4次方程式の解の公式は存在するが，なぜ 5次以上の方程式には解の公式がないのかが
納得できるようになると思います．
